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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}} dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$.चूंकि $h(x)$,$f(x)$ क

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$\frac{3}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}} dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$.चूंकि $h(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(h(x)) = x$ होगा।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(h(x)) \cdot h'(x) = 1$,जिसका अर्थ है $h'(x) = \frac{1}{f'(h(x))} = \sqrt{1 + h^3(x)}$.अब,$h'(x) = (1 + h^3(x))^{1/2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$h''(x) = \frac{1}{2}(1 + h^3(x))^{-1/2} \cdot (3h^2(x) \cdot h'(x))$.$h'(x) = \sqrt{1 + h^3(x)}$ का मान रखने पर:$h''(x) = \frac{3h^2(x) \cdot \sqrt{1 + h^3(x)}}{2 \sqrt{1 + h^3(x)}} = \frac{3}{2} h^2(x)$.अतः,$\frac{h''(x)}{h^2(x)} = \frac{3}{2}$.

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {\frac{1}{{\sqrt {1 + {t^3}} }}\,} dt$ और $h(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है,तो $\frac{{h''(x)}}{{{h^2}(x)}}$ का मान है

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